.: CNC - Algunos Conceptos de Funciones líneales

Bien, es justamente éste el tema que trataremos para poder iniciar. Te preguntarás por qué ver matemáticas en la sección de programación, y la respuesta es muy sencilla, "por que es necesario para saber que hay que codificar".

Si ya anduviste por la sección de Códigos para CNC, seguramente sabrás que la gran mayoría de los trazados consisten en funciones líneales. Cada instrucción o cada Bloque de Instrucciones, indica un punto o las coordenadas a un punto de llegada, el punto de partida, es el punto actual en el que la máquina se encuentra.

Vamos a suponer que cada punto es un píxel, (luego veremos como se grafica un píxel en VBasic). La cuestión es que necesitas conocer la ubicación del primer píxel o punto de partida y la ubicación del segundo, que es el punto de llegada, con esto ya tienes todos los datos correspondientes a una función líneal, lo que debes hacer ahora para llegar de un punto a otro es realizar una interpolación entre esos puntos, es decir, por programación, irás graficando una línea PUNTO POR PUNTO.

Lo que vamos a ver ahora es pura matemáticas, si te pierdes, me lo haces saber, y nos sentamos a llorar todos juntos, bueno, ok, no es una solución, lo que sí serviría de gran ayuda, sería recurrir a nuestros Profes, aquellos especialistas en el tema, bien, comencemos...

Básicamente, una función, es una relación entre los elementos de dos conjuntos, que bien podrían ser los elementos del conjunto X y los del conjunto Y, que podría representarse así...

.: Funciones líneales

Estas funciones, como cualquier otra, tienen una forma general de representarlas conocida como Notación Simbólica, y se dice que son del tipo...

.: Observaciones Fundamentales en una Función líneal

Podríamos haber comenzado diciendo que "y" es la variable Dependiente y que "x" la variable Independiente, pero no lo diremos por que eso ya lo sabemos de antemano, vamos por lo que está pintado de rojo...

Antes aclaremos dos conceptos...

Como dirían los matemáticos, En un sistema de ejes Coordenados Cartesianos, se llama Abscisa al Eje x, y Ordenada al Eje y.

Aclarado esto, hablemos de...

b; Se dice que es la ordenada al origen, esto es, es la distancia desde el origen hasta el punto por el cual la función corta al eje y.

Como verás, no interesa si la función sube o baja, es más, puede que sea horizontal, es decir, que sea paralela al eje x, vamos por la otra.

a; Se dice que es la pendiente de la función, es decir, su valor indica, qué tan inclinada está.

Al intentar graficar una función de este tipo se pueden presentar algunos casos especiales, que son importantes considerar

Caso 1)  Si b=0

Si b=0 significa que la función pasa por el origen, observa la animación anterior, nuestra función original quedaría de la siguiente forma...

Lo único que nos queda por hacer es averiguar que es lo que ocurre con a, y es que pueden darse dos casos, a<0 o bien a>0.

Mira ahora como se vería el gráfico según cada caso...

Caso 2)  Si a=0

Mira de sencillo que es, dijimos que a es la pendiente de la función, por tanto, si a=0 significa que No existe pendiente, esto da como resultado una línea paralela a las abscisas, es más, el valor de x, no tiene importancia, y sino, mira como nos queda la función principal...

es decir que para cualquier valor de x, y toma el mismo valor, y como verás, el valor de y es el mismo de b, la cuestión es que ahora la función estará por arriba o por debajo del eje de las abscisas, lo cual por supuesto, depende del término b...

Caso 3)  Si y=0

Este caso muy especial se da cuando la función no pasa por el eje y, es decir que el gráfico es una línea paralela al eje de las ordenadas.

Veamos como quedaría la ecuación general...

O sea, la función cortará al eje x en el punto b/a, y pueden darse dos casos

+(b/a) cuando (b/a) > 0
- (b/a) cuando (b/a) < 0

Lo veamos gráficamente...

Caso 4)  Si y=ax ± b

Esta vez estudiamos la función completa, y todas las posibilidades que vimos anteriormente podríamos resumirla de esta forma...

Bieeeeen...!!!, acabamos de pasar las bases fundamentales del estudio de las funciones líneales, pero para nuestra tarea, esto no nos alcanza, así que iremos por más...